Android4.4のブラウザで「Adobe Flash Player」と「Proxy」を使う方法です。

先に結論から書いてしまうと、Android 版 Firefox を利用する事ですべて解決します。

☆Firefoxモバイルブラウザ
https://play.google.com/store/apps/details?id=org.mozilla.firefox&hl=ja

☆Android 4.0 用の Flash Player バージョン(Flash Player 11.1 for Android 4.0 (11.1.115.81))
http://helpx.adobe.com/jp/flash-player/kb/228683.html

☆Firefox Mobile: Privacy Enhanced(INSTALL PROXYMOBをクリック)
https://guardianproject.info/apps/firefoxprivacy/

この組み合わせで実現可能です。

以下余談(笑)

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Android4.4からはGooglePlayで公開されているブラウザの多くで、
Adobe Flash Playerが動かなくなり、さらにはProxyも利用できなくなりました。

実はGooglePlayで公開されている殆どのブラウザは、
OS標準の機能を使って作られています。

この事が理由で、Android4.4でセキュリティ強化の修正が入った影響をうけ、
Adobe Flash Playerが動かなくなり、さらにはProxyも利用できなくなったという訳です。

逆に考えればFirefoxのように
独自のHTMLレンダリングエンジン(Gecko)を採用しているブラウザを使えば、
引き続きこれらの機能は利用できるとなるわけです。

とはいえ独自のHTMLレンダリングエンジンを採用しているブラウザは数が知れていて、
サポートが継続して現存しているものでは、
FirefoxとdolphinブラウザのJetPack位しかありません。

ただdolphinブラウザのJetPackはちょっとしたゴニョゴニョで
Adobe Flash Playerは動きますが、
Proxyが利用できないので自分は使っていません。
という事で事実上firefox一択になっています。

ちなみにfirefoxは独自のHTMLレンダリングエンジンのため、
サイトによっては描画崩れする場合もありますが、
Phonyとよばれるアドオンを入れ、
”Android(スマートフォン)”のユーザエージェントを模倣しておけば、
殆どのサイトの閲覧は問題なく行えると思います。